4.1 指数学 习 目 标核 心 素 养1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义．通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．我们已经知道，，，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，，…．那么，，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．1．平方根与立方根的概念如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的平方根；如果 x3＝a，那么 x 称为 a 的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有 2 个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a 的 n 次方根(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称 x 为 a 的 n 次方根 ，式子叫作根式，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．(2)几个规定：① 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a的 n 次方根只有一个，记作 x＝；② 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号表示，负的 n 次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；③0 的 n 次方根等于 0(无论 n 为奇数，还是为偶数)．3．根式的性质(1)＝0(n∈N*，且 n>1)；(2)()＝a(n 为大于 1 的奇数)；(3)()＝|a|＝(n 为大于 1 的偶数)．(4)()n＝a(n∈N*，且 n>1，a 使得有意义)．4．分数指数幂的意义一般地，我们规定：(3)0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义．0 的 0 次幂没有意义．5．有理数指数幂的运算性质(1)asat＝a s ＋ t ；(2)(as)t＝a st ；(3)(ab)t＝a t b t ，(其中 s，t∈Q，a>0，b>0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16 的四次方根为 2．( )(2)＝π－4．( )(3)＝－2．( )[提示] (1)16 的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．[答案] (1)× (2)× (3)×2．若 n 是偶数，＝x－1，则 x 的取值范围为 ．[1，＋∞) [由题意知 x－1≥0，∴x≥1．]3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ．(填序号)(1)＝5；(2)2＝；(3)＝(－2)；(4)3＝．(1)(2) [根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]4．设 5x＝4,5y＝2，则 52x－y＝ ．8 [52x－y＝＝＝＝8．]根式的性质【例 1】...
