高中数学 第7章 解析几何初步 7.3.2 圆的一般方程学案 湘教版必修3-湘教版高一必修3数学学案

7．3.2 圆的一般方程[学习目标]1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．2．会在不同条件下求圆的一般式方程．[知识链接]1．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为( a ， b ) ，半径为 r．2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断．[预习导引]1．圆的一般方程的定义(1)当 D 2 ＋ E 2 － 4 F >0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为．(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点．(3)当 D 2 ＋ E 2 － 4 F <0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点 M 在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点 M 在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点 M 在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0要点一 圆的一般方程的概念例 1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解 (1) 方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2与 y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2) 方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，∴它不能表示圆．(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为＋y2＝，∴它表示以为圆心，为半径长的圆．规律方法 二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，应满足的条件是：① A＝C≠0，② B＝0，③ D2＋E2－4AF>0.也可将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．跟踪演练 1 如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的范围是________．答案 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即 k<.要点二 求圆的一般方程例 2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．解 法一 设△ABC 的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， A，B，C 在圆上，∴∴∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.法二 设△ABC 的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， A，B，C 在圆上，∴解...