高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.1 正弦函数的图象与性质（三）学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案VIP专享

1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) [学习目标] 1.掌握 y＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握 y＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．怎样求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意 x∈R，都有 Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以 Asin＝Asin(ωx＋φ)，即 f＝f(x)，所以 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．由于 x 至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是 1 和－1.[预习导引] 正弦函数的图象和性质函数y＝sin x图象定义域( －∞，＋∞ ) 或 R值域[ － 1,1] 奇偶性奇函数周期最小正周期：2π单调性在上递增；在上递减，其中 k∈Z最值x＝＋2kπ 时，ymax＝1(k∈Z)；x＝－＋2kπ 时，ymin＝－1(k∈Z)对称性对称中心：(kπ，0)，对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)要点一 求函数的单调区间例 1 求函数 y＝2sin 的单调递增区间．解 y＝2sin＝－2sin，令 z＝x－，则 y＝－2sin z.因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y＝－2sin z 的递增区间，即求 sin z 的递减区间，即 2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．所以 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数 y＝2sin 的递增区间为(k∈Z)．规律方法 用整体替换法求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练 1 求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1＋2sin；(2)y＝logsin x.解 (1)y＝1＋2sin＝1－2sin.令 u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是 y＝sin u 的单调递减区间，即 2kπ＋≤u≤2kπ＋π(k∈Z)，亦即 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．亦即 2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数 y＝1＋2sin 的单调递增区间是 2kπ＋π，2kπ＋π(k∈Z)．(2)由 sin x>0，得 2kπ