高中数学 第一章 三角函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质内容要求 1.能借助单位圆中的正切线画出函数 y＝tan x 的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．知识点 1 正切函数的定义(1)任意角的正切函数：如果角 α 满足 α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角 α 的正切函数，记作 y＝tan α，其中 α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：根据定义知 tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．(3)正切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．(4)正切线：在单位圆中令 A(1,0)，过 A 作 x 轴的垂线，与角 α 的终边或终边的延长线相交于 T，称线段 AT 为角 α 的正切线．【预习评价】1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝，则 x 的值为( )A．7B．8C．15 D.解析 由正切函数的定义 tan α＝＝，解之得 x＝8.答案 B2．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．解析 由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有意义，则 2x≠kπ＋(k∈Z)．解得 x≠＋(k∈Z)．答案 知识点 2 正切函数的图像及特征(1)y＝tan x，x∈R 且 x≠＋kπ，k∈Z 的图像(正切曲线)：(2)正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线 x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．知识点 3 正切函数的性质函数y＝tan x定义域值域R周期性周期为 kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为 π奇偶性奇函数单调性在(k∈Z)上是增加的【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数(×)(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使 y＝tan x 是增加的．(√)(3)若 x 是第一象限的角，则 y＝tan x 是增函数(×)(4)正切函数 y＝tan x 的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)题型一 正切函数的定义【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sin α，cos α、tan α 的值．解 r＝＝5|a|，若 a...