高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1 第1课时 等差数列的概念和通项公式学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案VIP专享

§2 等差数列2．1 等差数列第 1 课时 等差数列的概念和通项公式知识点一 等差数列的定义 [填一填]如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母 d 表示．由此定义可知，对于等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d.[答一答]1．怎样用公式表示等差数列的定义？提示：an＋1－an＝d(d 为常数)．知识点二 等差数列的通项公式 [填一填]设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则通项公式 an＝a1＋ ( n － 1) d .[答一答]2．怎样推导等差数列的通项公式？提示：{an}是等差数列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－1－an－2＝d，an－an－1＝d.将以上 n－1 个等式的两边分别相加得 an－a1＝(n－1)d，所以 an＝a1＋(n－1)d.知识点三 从函数角度研究等差数列{an} [填一填](1)若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd ＋ ( a 1－d ) ． ① 点(n，an)落在直线 y ＝ dx ＋ ( a 1－ d ) 上．② 这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d.(2)①d>0 时{an}是递增数列，②d<0 时{an}是递减数列，③d＝0 时{an}是常数列．[答一答]3．怎样判断等差数列的单调性？提示：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)是关于 n 的一次函数，d 为斜率，(n，an)在直线上，由 an＝am＋(n－m)d，得 d＝，d>0 时，一次函数递增，{an}是递增数列；d<0 时，一次函数递减，{an}是递减数列．理解等差数列的定义需注意以下问题：(1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含义：其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第 2 项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．类型一 等差数列的判定 【例 1】 判断下列各数列是否为等差数列．(1)1,2,4,6,8；(2)7,7,7,7,7；(3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n；(4)a－d，a，a＋d.【思路探究】 根据等差数列的定义进行判断，即判断从第 2 项开始每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．【解】 (1)因为 2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，...