高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数知识导航学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§5 正弦函数知识梳理1.任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点 O，半径等于 1 的圆称为单位圆.（2）定义如图 1-4-1 所示，单位圆与角 α 的终边交于 P 点.设 P（a，b）,则 P 点纵坐标 b 是角 α 的函数，称为正弦函数，记为 b=sinα(α∈R).通常用 x、y 表示自变量和因变量，将正弦函数表示为 y=sinx(x∈R).图 1-4-1（3）正弦线如图 1-4-1 所示，过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有向线段 MP 叫做角 α 的正弦线.当角 α 的终边在 x 轴上时，M 与 P 重合，此时正弦线变成一个点.（4）正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同 y 轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图 1-4-2 所示，设 P（x,y)是 α 的终边上任意一点，图 1-4-2P 到原点的距离|OP|＝r，有 r=,则 sinα＝.对于每一个确定的角 α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角 α为自变量的函数，叫做正弦函数.正弦函数值与点 P 在角 α 终边上的位置无关，只依赖于角 α 的大小.2.周期函数一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明，一般都是指它的最小正周期.3.任意角的正弦值的符号（1）图形表示：各象限正弦函数符号，如图 1-4-3 所示.图 1-4-3（2）表格表示.α 的终边sinαx 非负半轴0第一象限+y 非负半轴+第二象限+x 非正半轴0第三象限-y 非正半轴-第四象限-4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图 1-4-4 所示.图 1-4-4(2)性质.函数性质y=sinx定义域R值域［-1，1］当 x=2kπ+ (k∈Z)时，y 取最大值 1;当 x=2kπ- (k∈Z)时，y 取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［-+2kπ, +2kπ］(k∈Z)减区间［-+2kπ, +2kπ］(k∈Z)5.诱导公式x-απ-απ+α2π-α2kπ+α(k∈Z)sinx-sinαsinα-sinα-sinαsinα知识导学1.复习初中学过的锐角的正弦函数，本节是锐角的正弦函数的补充和延伸.2.任意角的正弦值的符号记忆口诀：“上正下负”.其含义是终边在 x 轴上方的任意角正弦值为正，在 x 轴下方的任意角正弦值为负.3.诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.其含义是：-α，π±α，2π-a，2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值等于 α 的正弦函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原正弦函数值的符号.