3.3 三角函数的积化和差与和差化积学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.知识点一 积化和差公式思考 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝________________；②sin(α＋β)－sin(α－β)＝________________；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝________________；④cos(α＋β)－cos(α－β)＝________________.在上述四个等式两边同乘以，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式.梳理 积化和差公式(1)sin αcos β＝________________________________.(2)cos αsin β＝________________________________.(3)cos αcos β＝________________________________.(4)sin αsin β＝________________________________.知识点二 和差化积公式思 考 在 四 个 积 化 和 差 公 式 中 ， 如 果 我 们 令 α ＋ β ＝ θ ， α － β ＝ φ ， 则 α ＝________，β＝________，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：sin θ＋sin φ＝________________；sin θ－sin φ＝________________；cos θ＋cos φ＝________________________；cos θ－cos φ＝________________________.梳理 和差化积公式(1)sin x＋sin y＝2sin cos ，(2)sin x－sin y＝2cos sin ，(3)cos x＋cos y＝2cos cos ，(4)cos x－cos y＝－2sin sin .类型一 利用积化和差与和差化积公式化简求值例 1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 反思与感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟踪训练 1 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°. 类型二 三角恒等式的证明例 2 在△ABC 中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C. 反思与感悟 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.跟踪训练 2 已知 A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos. 1.sin 75°－sin 15°的值为( )A. B. C. D.－2.sin 15°cos 165°的值是( )A. ...
