高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

3.2 一元二次不等式及其解法（二）[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式＞0(＜0)法Ⅰ：或法Ⅱ：f(x)·g(x)＞0(＜0)≥0(≤0)法Ⅰ：或法Ⅱ：＞a先移项转化为上述两种形式知识点二 简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式 f(x)＞0 常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将 f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将 f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0 的解集为______________．答案 {x|1＜x＜2 或 x＞4}解析 利用数轴穿根法知识点三 一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为 R 的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k ≥ f ( x ) max；k≤f(x)恒成立⇔k ≤ f ( x ) min．题型一 分式不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)＜0；(2)≤2.解 (1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－4 或 x＞3}．(2)方法一 移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，同解不等式为∴x＜2 或 x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．方法二 原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得 x≥5，解②得 x＜2，∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．跟踪训练 1 不等式<2 的解集为( )A．{x|x≠－2} B．RC．∅ D．{x|x<－2 或 x>2}答案 A解析 x2＋x＋1＝＋＞0，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．题型二 解一元高次不等式例 2 解下列不等式：(1)x4－2x3－3x2＜0；(2)1＋x－x3－x4＞0；(3)(6x2－17x＋12)(2x...