高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

3．3 一元二次不等式及其解法 1.了解一元二次不等式的概念． 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．3．掌握一元二次不等式的解法及有关问题．1．一元二次不等式(1)定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的整式不等式，叫做一元二次不等式．(2)一般表达形式：ax2＋bx＋c>0(a≠0)或 ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中 a，b，c 均是常数．2．一元二次方程，二次函数和一元二次不等式的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根(x10(a>0)的解集{x|x>x2或 x0)的解集{ x | x 1< x < x 2}∅∅1．不等式(x－1)(2－x)≥0 的解集是( )A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1 或 x≥2}C．{x|12}答案：A2．不等式 mx2＋x＋1<0(m 为常数)是一元二次不等式吗？解：当 m＝0 时为一元一次不等式；当 m≠0 时为一元二次不等式．3．一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)何时解集为 R，何时解集为∅？解：当 a>0，Δ<0 时，解集为 R；当 a<0，Δ≤0 时，解集为∅. 一元二次不等式的解法[学生用书 P46] 解不等式：(1)x2－8x＋15>0；1(2)－x2－2x>－3；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2－4x＋8<0.【解】 (1)法一：方程 x2－8x＋15＝0 的判别式Δ＝(－8)2－4×15＝4>0，解得方程两根分别为 x1＝3，x2＝5.所以原不等式的解集是{x|x<3 或 x>5}．法二：作函数 y＝x2－8x＋15 的图象，如图所示．由图可知 y＝x2－8x＋15 的图象在 x 轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是 x<3 或 x>5.故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}．法三：原不等式可化为(x－3)(x－5)>0，即或，解得 x<3 或 x>5.故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}．(2)原不等式可化为 x2＋2x－3<0.法一：方程 x2＋2x－3＝0 的判别式Δ＝22－4×(－3)＝16，解得方程两根分别为 x1＝－3，x2＝1.所以原不等式的解集为{x|－3