高中数学 第三章 三角函数 3.4 函数yAsin(ωxφ)的图象与性质 3.4.1 三角函数的周期性学案 湘教版必修2-湘教版高一必修2数学学案

3．4.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔 2π 个单位重复出现，其理论依据是什么？答 诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)当自变量 x 的值增加 2π 的整数倍时，函数值重复出现．2．设 f(x)＝sinx，则 sin(x＋2kπ)＝sinx 可以怎样表示？答 f(x＋2kπ)＝f(x)这就是说：当自变量 x 的值增加到 x＋2kπ 时，函数值重复出现．[预习导引]1．函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由 sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x 知 y＝sinx 与 y＝cosx 都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2π.3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期 T＝.要点一 求正弦、余弦函数的周期例 1 求下列函数的周期：(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝|sin2x|(x∈R)．解 (1)方法一 令 z＝2x＋， x∈R，∴z∈R.函数 f(x)＝sinz 的最小正周期是 2π，就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π，函数 f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而 z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函数值才能重复取得，从而函数 f(x)＝sin(x∈R)的周期是 π.方法二 f(x)＝sin 的周期为＝π.(2)作出 y＝|sin2x|的图象．由图象可知，y＝|sin2x|的周期为.规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得 T 是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：① 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或 y＝Acos(ωx＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式 T＝来求解．② 对于形如 y＝|Asin ωx|(或 y＝|Acos ωx|)的周期情况常结合图象来解决．跟踪演练 1 求...