第一章 解三角形 1 正弦定理和余弦定理的证明方法的探究正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它们的证明方法比较多，除了教材上介绍的向量法外，还可以采用下面的方法．1．几何法证明正弦定理设 BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，则 BD＝2R，下面按∠A 为直角、锐角、钝角三种情况加以证明．(1)若∠A 为直角，如图①，则 BC 经过圆心 O，∴BC 为圆 O 的直径，BC＝2R，＝＝BC＝2R.(2)若∠A 为锐角，如图②，连接 CD，则∠BAC＝∠BDC，在 Rt△BCD 中，＝， ＝BD＝2R，∴＝2R.即＝2R.(3)若∠A 为钝角，如图③，连结 CD，则∠BAC＋∠CDB＝π，∴sin∠BAC＝sin∠CDB，在 Rt△BCD 中，＝BD＝2R，又 ＝，∴＝2R，即＝2R.可证得：＝2R.同理可证：＝2R，＝2R.∴不论△ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有＝＝＝2R(其中 R 为△ABC的外接圆的半径)．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径．2．坐标法证明余弦定理如图所示，以△ABC 的顶点 A 为原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B 可作角 A 终边的一个点，它到原点的距离 r＝c.设点 B 的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A，即点 B 的坐标为(ccos A，csin A)，又点 C 的坐标是(b,0)．由两点间的距离公式，可得：a＝BC＝.两边平方得：a2＝(b－ccos A)2＋(csin A)2＝b2＋c2－2bccos A.以△ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同样可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理的第二种形式是cos A＝，cos B＝，cos C＝.3．向量法证明正弦、余弦定理如图，在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边长分别是 a，b，c.以 A 为原点，AC 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则点 C 的坐标是(b,0)．由三角函数的定义，得点 B的坐标是(ccos A，csin A)．所以＝(ccos A－b，csin A)．现将平移到起点为原点 A，终点为点 D，则＝，且||＝||＝a，∠DAC＝180°－∠C.根据三角函数的定义，知点 D 的坐标是(－acos C，asin C)．所以＝(－acos C，asin C)．因为＝，所以(－acos C，asin C)＝(ccos A－b，csin A)．所以由①，得＝.同理可证＝.所以＝＝.由②，得 acos C＝b－ccos A.两...
