高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

1．3.2 奇 偶 性[提出问题]已知函数(1)f(x)＝x2－1，(2)f(x)＝－，(3)f(x)＝2x 的图象分别如图所示：问题 1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于 y 轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．问题 2：对于以上三个函数，分别计算 f(－x)，观察对定义域内的每一个 x，f(－x)与 f(x)有怎样的关系？提示：(1)f(－x)＝f(x)；(2)f(－x)＝－f(x)；(3)f(－x)＝－f(x)．[导入新知]偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数 f(x)的定义域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 f( － x) ＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 任 意 一 个 x ， 都 有 f ( － x ) ＝ － f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数定义域关于原点对称图象特征[化解疑难]理解函数的奇偶性应关注四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)[或 f(－x)＝f(x)]，才能说 f(x)是奇(偶)函数．(2)函数 y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．(3)若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)＝0.(4)若 f(－x)＝－f(x)，且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即 f(x)＝0，x∈D，D 是关于原点对称的实数集．判断函数的奇偶性[例 1] 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝[解] (1)函数 f(x)＝x＋1 的定义域为实数集 R，关于原点对称．因为 f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即 f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数 f(x)＝x＋1 既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而 4∉[－4,4)，所以函数 f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数 f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为实数集 R，关于原点对称．因为 f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以函数 f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)...