高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质第3课时课堂探究学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

1.3 函数的基本性质课堂探究探究一 判断函数的奇偶性1．函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤为：(1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式；(4)求 f(－x)；(5)根据 f(－x)与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性．3．函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．【典型例题 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝思路分析：先求出定义域，再判断 f(－x)与 f(x)的关系．解：(1) 函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为 R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)由得 x2＝1，即 x＝±1.∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又 f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)函数的定义域关于原点对称．方法一：当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．方法二：函数 f(x)＝的图象如图．图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断 f(－x)与 f(x)的关系，既可以从 f(－x)开始化简，也可以去考虑 f(－x)＋f(x)或 f(－x)－f(x)是否为 0，当 f(x)不等于0 时也可考虑 ，与 1 或－1 的关系．(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：① 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；② 奇函数的和、差仍为奇函数；③ 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④ 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．探究二 利用函数的奇偶性求解析式对于偶函数 f(x)有 f(－x)＝f(x)，对于奇函数 f(x)有 f(－x)＝－f(x)，所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化...