第 2 课时 函数的最大值、最小值知识点 函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数 y＝x2(x∈R)的最大值是0，有 f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( )(2)函数的最小值一定比最大值小．( )答案：(1)× (2)×2．函数 f(x)＝在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值解析：函数 f(x)＝是反比例函数，当 x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选 A.答案：A3．函数 f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．－5,3解析：因为 f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当 x＝2 时，函数的最小值为－3.当 x＝－2 时，函数的最大值为 5.答案：B4．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故 ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故 ymin＝f(－2)．答案：C类型一 图象法求函数的最值例 1 如图所示为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数 y＝f(x)当 x＝3 时取得最大值，最大值是 3.当 x＝－1.5 时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练 1 已知函数 y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示．由图象知，函数 y＝－|x－1|＋2 的最大值为 2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．利用 x 的不同取值先去绝对值，再画图．类型二 利用单调性求函数的最大(小值)例 2 已知 f(x)＝，(1)判断 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．(2)求 f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．【解析】 (1)函数 f(x)在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取 x2>x1>1，则 f(x1)－f(x2)＝－＝，因为 x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以 f(x1)－f(x2)>0，...
