高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.1.1 两角和与差的余弦学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．知识点一 两角差的余弦思考 1 cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ 思考 2 单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么 P1，P2的坐标是什么？OP1与OP2的夹角是多少？ 思考 3 由思考 2，体会两角差的余弦公式的推导过程． 梳理 两角差的余弦公式cos(α－β)＝____________________.(C(α－β))知识点二 两角和的余弦思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？ 梳理 两角和的余弦公式cos(α＋β)＝________________.(C(α＋β))特别提醒：(1)公式中的角 α，β 是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 ，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．类型一 给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)；(3)cos 15°＋sin 15°. 反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；(2). 类型二 已知三角函数值求值例 2 已知 sin α＝－，sin β＝，且 π＜α＜，＜β＜π，求 cos(α－β)．引申探究1．若将例 2 改为已知 sin α＝－，sin β＝，且 π＜α＜2π，0＜β＜，求 cos(α－β)．2．若将例 2 改为已知 sin α＝－，π＜α＜，＜β＜π，cos(α－β)＝，求 sin β. 反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．跟踪训练 2 已知＜β＜α＜，且 cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求...