§8 最小二乘估计知识点 最小二乘法及回归直线方程 [填一填]1．最小二乘法设 x、y 的一组观察值为(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回归直线方程为y＝a＋bx，当 x 取值 xi(i＝1,2，…，n)时，y的观察值为 yi，差 yi－yi(i＝1,2，…，n)刻画了实际观察值 yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即 Q＝作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫作最小二乘法．2．回归直线方程的系数计算公式[答一答]利用最小二乘法的思想求得线性回归方程的步骤是什么？提示：第一步：先求，，2，.第二步：求，第三步：求 iyi.第四步：代入公式求 b＝.第五步：代入公式 a＝－b.代入直线方程得：y＝bx＋a.对回归直线方程的几点说明(1)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的中心点(，)在回归直线上．(2)由回归直线方程知 x 处的估计值为 y＝a＋bx.(3)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小．(4)求回归直线方程，计算量大，一般应学会使用计算器求解．(5)利用回归直线方程可以对总体进行估计．类型一 最小二乘法与回归直线方程的理解 【例 1】 下列有关线性回归方程的系数 a，b 的公式正确的是( )【思路探究】 符号 i表示 n 个实数 a1，a2，…，an的和．【解析】 由线性回归方程的概念我们知道，线性回归方程的系数公式 b＝＝，a＝－b，易知 A 正确．【答案】 A回归直线方程的系数 a，b，用最小二乘法估计 a，b 使函数 Q(a，b)最小，Q(a，b)＝( A )A.(yi－a－bxi)2 B.yi－a－bxi|C．(yi－a－bxi)2 D．|yi－a－bxi|解析：由最小二乘法的定义知通过求 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得到回归直线的方法，叫作最小二乘法，故 Q(a，b)＝(yi－bxi－a)2，故选 A.类型二 求回归直线方程 【例 2】 某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：年份20142015201620172018x/万户11.11.51.61.8y/百万立方米6791112(1)检验是否线性相关；(2)求 y 对 x 的回归直线方程．【思路探究】 →→→→【解】 (1)作出散点图，观察呈线性相关，如图所示．(1)＝＝，＝＝9，＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26，iyi＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4. ∴b＝＝＝，a＝－b＝9－×＝－，∴y 对 x 的回归直线方程为 y＝x－.规律方法 求回归直线方程...
