3.4 基本不等式:(第 1 课时)学习目标1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式.2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法.3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路.合作学习一、设计问题,创设情境第 24 届国际数学家大会于 2002 年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为 x,y,你能用 x,y 表示四个直角三角形的面积和吗?你能用 x,y 表示大正方形的面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式.二、信息交流,揭示规律问题 1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? x,y 有什么关系?问题 2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的.同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?问题 3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数 a,b 分别代替 x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式?问题 4:对这个结论,我们能否进行证明?问题 5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个问题:如图 AB 是圆 O 的直径,点 C 是线段 AB(除 A、B 外)上任意一点过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD,BD.试以 a,b 表示 CD,OD 的长度并比较两者的大小.问题 6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢?问题 7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识?三、运用规律,解决问题【例 1】下列各式错误的是( )A.(a>0,b>0)B.x+≥2(x>0)C.+sinx≥4(00,试比较的大小关系,并给出证明.五、反思小结,观点提炼1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?2.本节课你能感受到哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关系. x2+y2≥2xy 或 x2+y2>2xy.问题 1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时 x=y.结论(1):重要不等式:对任意实数 x,y,我们有 x2+y2≥2xy,当且仅当 x=y 时,等号成立.问题 2:证明:(作差法)因为 x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以 x2+y2...
