2.1.3 函数的单调性预习导航课程目标学习脉络1.理解函数的单调性的概念．2．会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性．3．能从给定的函数图象上直观得出函数的单调性及单调区间．4．掌握函数单调性的一些简单应用.1．函数单调性的概念一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A.如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1＞0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)＞0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是增函数，如图(1)所示．图(1)当 Δy＝f(x2)－f(x1)＜0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是减函数，如图(2)所示．图(2)如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性(区间 M 称为单调区间)．思考 1 若把增、减函数定义中的“任意 x1，x2”改为“存在 x1，x2”可以吗？提示：不可以，如图：虽然 Δx＝2－(－1)＞0，Δy＝f(2)－f(－1)＞0，但 f(x)在[－1,2]上并不是单调函数．因此“任意”两字不能忽视，更不能用“特殊”取代．为了方便也可将定义改为：如果对于属于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1≠x2时，总有＞0(＜0)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数．思考 2“函数 y＝在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数”是否正确？提示：不正确，函数 y＝的单调区间不能取并集，应写为(－∞，0)，(0，＋∞)或(－∞，0)和(0，＋∞)．思考 3“函数 f(x)的单调增(减)区间是 D”与“函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数”是否相同？提示：不相同．函数 f(x)的单调增(减)区间是 D，这一说法意味着除 D 之外，函数f(x)再无其他单调增(减)区间．函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数，则意味着区间 D 是函数 f(x)的单调增(减)区间的子区间，即除区间 D 外，函数 f(x)还可能有其他的单调增(减)区间．2．判断函数单调性的步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 M 上的单调性的一般步骤：(1)任取 x1，x2∈M，且 Δx＝x2－x1＞0；(2)作差：Δy＝f ( x 2) － f ( x 1)；(3)变形(通常所用的方法有：因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等)；(4)定号(即判断 Δ y 的正负)；(5)下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 M 上的单调性)．
