2 二次函数的性质与图象课堂导学三点剖析一、二次函数的图象及性质【例 1】二次函数 f(x)与 g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同
已知函数 g(x)的解析式和 f(x)图象的顶点,写出函数 f(x)的解析式,函数 g(x)=-2(x+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2)
思路分析：本题给出了图象的顶点坐标,可以用顶点式设出二次函数,然后求解
解:设 f(x)的解析式为 y=a(x+h)2+k
因为 f(x)与 g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且 g(x)=-2(x+1)2与 y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同
又因为 f(x)图象的顶点是(-3,2),所以 f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16
温馨提示 (1)若二次函数 f(x)与 g(x)的开口大小一致且开口方向相同,则二次项系数相等;若f(x)与 g(x)的开口大小一致且开口方向相反,则二次项系数绝对值相等,符号相反
(2)若二次函数的二次项系数为 a,顶点坐标为(h,k),则此二次函数可设为 y=a(x-h)2+k
二、二次函数在特定区间上的最值问题【例 2】设函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为 g(t),求 g(t)的表达式
思路分析：解决此类问题的关键是数形结合
解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,① 当 t+1≤1,即 t≤0 时,由图(1)知截取减区间上的一段,g(t)=f(t+1)=t2+1;② 当 11 时,由图(3)可知截取增区间上的一段,g(t)=f(t)=t2-2t+2
综上,可知 g(t)=温馨提示(1)从运动的观点来看,令区间\[t,t+1\]从左向右沿 x 轴正方向运动,截取抛物线上的相应部分
(2)共截取三种类型:减函数部分、包含顶点的部分、增函数部分
(3)初学这种类型
