高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2.2 分段函数学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数．2．给出分段函数，能研究有关性质．3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如 y＝其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5 千米以内，票价 2 元；②5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米，沿途(包括起点站和终点站)有 11 个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程 x(千米)与票价 y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x 与 y 之间有何特点？[答案] (1)有函数关系(2)y＝(3)x 在不同区间内取值时，与 y 所对应的关系不同2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数 f(x)＝是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y＝|x－1|与 y＝是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一分段函数求值【典例 1】 已知函数 f(x)＝(1)求 f(f(f(－2)))的值；(2)若 f(a)＝，求 a.[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值．[解] (1) －2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.(2)当 a>1 时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；当－1≤a≤1 时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；当 a<－1 时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．综上，a＝2 或 a＝±.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数 f(x)＝则 f[f(3)]＝( )A. B．3 C. D.[解析] f(3)＝<1，∴f[f(3)]＝2＋1＝.[答案] D2．已知函数 f(x)＝若 f(x)＝－3，则 x＝________.[解析] 若 x≤1，由 x＋1＝－3 得 x＝－4.若 x>1，由 1－x2＝－3 得 x2＝4，解得 x＝...