高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1.2 函数的最大（小）值学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．2．会借助单调性求最值．3．掌握求二次函数在闭区间上的最值．1．最大值(1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①∀x∈I，都有 f ( x )≤ M ；②∃x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M .那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数 y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．2．最小值(1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①∀x∈I，都有 f ( x )≥ M ；②∃x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M .那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数 y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素．(2)并不是每一个函数都有最值，如函数 y＝，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．1．函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的 x 的值．[答案] f(x)的最小值为－1，此时 x＝－2；f(x)的最大值为 2，此时 x＝12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( )(2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)函数 f(x)＝－x 在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( )(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×题型一图象法求函数的最大(小)值【典例 1】 (1)已知函数 f(x)＝求 f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数 f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数 f(x)的图象，结合图象求解．[解] (1)作出函数 f(x)的图象(如图 1)．由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最大值为 f(±1)＝1；当 x＝0 时，f(x)取最小值f(0)＝0，故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.(2)f(x)的图象如图 2 所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为 f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤[针对训练]1．利用图象求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝－，x∈[1,3]；(2)y＝|x＋1|－|x－2|.[解] (1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点，也有最低点(1，－2)，所以函数 y＝－，x∈[1,3]有最大值－，最小值－2；(2)y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由右图可知，y∈[－3,3]．所以函...