第 2 课时 函数奇偶性的应用[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．知识点一 函数奇偶性的性质[填一填]1．奇、偶函数代数特征的灵活变通由 f(－x)＝－f(x)，可得 f(－x)＋f(x)＝0 或＝－ 1 (f(x)≠0)；由 f(－x)＝f(x)，可得 f(－x)－f(x)＝0 或＝1(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f (0) ＝ 0 ，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |) ． [答一答]1．什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设 f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(－x)＝－f(x)，且 f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以 f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为 f(x)＝0 且其定义域是关于原点对称的非空数集．2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二 函数奇偶性与单调性的联系[填一填]由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于 y 轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．[答一答]3．设 f(x)是 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则 f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是 f ( － π)> f (3)> f ( － 2) ． 解析： f(x)是 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又 f(x)在[0，＋∞)上递增，而 2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即 f(－π)>f(3)>f(－2).类型一 利用函数的奇偶性求函数的值或解析式[例 1] (1)已知函数 f(x)＝ax3－bx＋3(其中 a、b 为常数)，若 f(3)＝2 015，则 f(－3)...
