高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2.1 函数奇偶性的概念学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 1 课时 函数奇偶性的概念1．理解函数奇偶性的定义．2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．1．函数 f(x)＝x2－1，f(x)＝－，f(x)＝2x 的图象分别如图所示：(1)各个图象有怎样的对称性？(2)对于以上三个函数，分别计算 f(－x)，观察对定义域内的每一个 x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？[答案] (1)y＝x2－1 的图象关于 y 轴对称；y＝－和 y＝2x 的图象关于原点对称(2)对于 f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)；对于 f(x)＝－，f(－x)＝－＝－f(x)；对于 f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象一定与 y 轴相交．( )(2)奇函数的图象一定经过原点．( )(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√题型一函数奇偶性的判断【典例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断．[解] (1) 函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2) 函数 f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且 f(x)＝0，又 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3) 函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的 2 种方法(1)定义法(2)图象法[针对训练]1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[解] (1) x∈R，关于原点对称，又 f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2) x∈R，关于原点对称，又 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝...