第 2 课时 函数奇偶性的应用1．掌握用奇偶性求解析式的方法．2．理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式．3．理解函数的奇偶性的推广——对称性．奇函数、偶函数的性质(1)若一个奇函数在原点处有定义，即 f(0)有意义，则一定有 f(0)＝0.(2)若 f(x)是奇函数，则 f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．(3)若 f(x)是偶函数，则 f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．1．观察下图，思考以下问题：(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？[答案] (1)不一定．奇函数在原点处有定义，则 f(0)＝0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定(2)奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f(x)＝0，x∈R 既是奇函数又是偶函数．( )(2)在公共的定义域内，若 f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则 f(x)·g(x)为奇函数．( )(3)偶函数 f(x)在 x＝0 时有意义，则 f(0)＝0.( )(4)f(x)是定义在 R 上的奇函数的必要不充分条件是f(0)＝0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√题型一利用奇偶性求函数的解析式【典例 1】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：(1)f(0)；(2)当 x<0 时，f(x)的解析式；(3)f(x)在 R 上的解析式．[思路导引] 借助奇函数的定义，利用 x>0 时的解析式，确定 x<0，即－x>0 时的解析式．[解] (1)因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝0.(2)当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.(3)函数 f(x)在 R 上的解析式为f(x)＝[变式] 若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当 x<0 时，函数 f(x)的解析式．[解] 当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)．∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.利用函数奇偶性求函数解析式的 3 个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．(3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．[针对训练]1．已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x)的解...
