3.1 函数与方程课堂探究探究一求函数的零点因为函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令 f(x)＝0，通过解方程 f(x)＝0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 y＝f(x)的图象，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．【典型例题 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16；(4)f(x)＝.思路分析：可通过解方程 f(x)＝0 求得函数的零点．解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得 x＝－或 x＝1.所以函数的零点为 x＝－和 x＝1.(2)令 1＋log3x＝0，则 log3x＝－1，解得 x＝.所以函数的零点为 x＝.(3)令 4x－16＝0，则 4x＝42，解得 x＝2.所以函数的零点为 x＝2.(4)因为 f(x)＝＝，令＝0，解得 x＝－6.所以函数的零点为 x＝－6.探究二 判断函数零点的个数判断函数 y＝f(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程 f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；(2)当方程 f(x)＝0 不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数 y＝f(x)零点的个数．【典型例题 2】 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数．解：方法一： f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(－1，＋∞)上为增函数，故 f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：h(x)＝2－2x和 g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．由图象知 y＝lg(x＋1)和 y＝2－2x有且只有一个交点，即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点．方法总结用零点存在定理判断函数 y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：(1)判断 f(a)f(b)＜0；(2)判断函数 y＝f(x)在(a，b)上单调．探究三判断函数的零点所在的大致区间如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数 y＝x2的零点就是不变号零点．函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．【典型例题 3】 方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间为( )A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4...
