高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程知识导学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

3.1 函数与方程知识导学 函数的零点不是点，而是函数 y=f(x)与 x 轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数 f(x)的零点实际上就是方程 f(x)=0 的实根，方程 f(x)=0 有几个实根，函数 f(x)就有几个零点；方程 f(x)=0 有两个相等的实根，则称函 数 有 一 个 二 重 零 点 或 者 说 有 一 个 二 阶 零 点 . 一 般 地 ， 函 数 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(ai∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有 n 个零点. 解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值. 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算. 记忆口诀： 函数连续值两端，相乘为负有零点， 区间之内有一数，方程成立很显然. 要求方程近似解，先看零点的区间， 每次区间分为二，分后两端近零点.疑难导析 一般地，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 0 时自变量 x 的值.从函数的图象上看，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标.因此，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以得到方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.问题导思 函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数 y=f(x)，当 y=0 时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程 f(x)=0，就是求函数 y=f(x)的零点.函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、...