3.1.1 函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例 1】 求函数 y=-x2-2x+3 的零点，并指出 y＞0，y＜0 时，x 的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0 得， x1=-3,x2=1， ∴函数 y=-x2-2x+3 的零点为-3，1. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1 时，y＞0.当 x＜-3 或 x＞1 时，y＜0. ∴函数 y=-x2-2x+3 的零点是-3，1. y＞0 时，x 的取值范围是（-3，1）；y＜0 时,x 的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞).温馨提示 函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式 ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.二、函数零点的应用【例 2】 已知函数 f(x)=x3-8x+1 在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程 x3-8x+1=0 的一个实根所在的区间吗?(精确到 0.1)x22.12.22.32.42.5f(x)-7-6.539-5.952-5.233-4.376-3.375x2.62.72.82.93…f(x)-2.224-0.9170.5522.1894…解析:观察表格并利用描点法作出 f(x)的大体图象,发现当自变量 x 由 2 变到 3 时,其函数值由-7 逐渐接近于 0,再变为正值,在此变化过程中,由于 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点 x0使得 f(x)=0,即 x03-8x0+1=0,此 x0所在的区间为［2.7,2.8］.温馨提示 判断零点所在的区间方法有两个： 1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断. 2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI 图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例 3】 已知函数 y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.① 若 f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数 f(x)有且仅有一个零点 ②若 f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数 f(x)无零点 ③若 f(x)在(a,b)内有零点,必有 f(a)·f(b)＜0④ 若f(a)·f(b)≤0,则函数 f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若 f(a)·f(b)＜0,则函数 f(x)在(a,b)内有零点解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.① 有条件 f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;② 是在 f(a)·f(b)＞0 的情况下,未必无零点;③ 在(a,b)内有零点,也未必有 f(a)·f(b)＜0 成立;④ 注意端点问题,可能 a、b 恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度...
