3.3 直线的交点坐标与距离公式知识梳理1. 已 知 两 条 直 线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 将 两 条 直 线 的 方 程 联 立 , 得 方 程 组若方程组有解,则两条直线相交;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数个解,则两条直线重合.2.若已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 交于点 P(x0,y0),则经过 l1 与 l2 交点的直线系方程是 y-y0=k(x-x0)或 x=x0,而方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示经过点 P(x0,y0)的直线.3.已知点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|＝.特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|＝4.点 P(x0,y0)到直线 x=a 的距离为|x0-a|,到直线 y=b 的距离为|y0-b|,到直线 l:Ax+By+C=0的距离为.5.两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为.6.用坐标法解决平面几何问题的基本步骤,第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量;第二步:进行有关的代数运算;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.知识导学 要学好本节内容,首先掌握直线方程确立的条件及求直线方程的方法.两直线位置的确定体现了坐标法的思想,两直线的交点坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.若所求直线经过两条已知直线的交点,设出其直线系方程后,只需找出一个等量关系确定 λ的值,即可找到所求的直线的方程. 两条平行直线间的距离可转化为直线上一点到另一条直线的距离,若直接使用公式 d=求解时,要注意把两个方程中 x,y 的对应系数化成相等的值.这一过程体现了化归的思想方法,即把一个生疏的问题转化成熟悉的能够解决的问题去解决. 不少的平面几何问题,用坐标法处理时更加简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,若注意利用图形的几何性质,可进一步简化计算.疑难突破点到直线的距离剖析:点 P(x1,y1)到直线 Ax+By+C=0 的距离公式:d=.应当注意的是:(1)若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离;(2)若点 P 在直线上,点 P 到直线的距离为零,距离公式仍然适用;(3)点到几种特殊直线的距离:① 点 P(x0,y0)到 x 轴的距离 d=|y0|;② 点 P(x0,y0)到 y 轴的距离 d=|x0|;③ 点 P(x0,y0)到与 x 轴平行的直线 y=a(a≠0)的距离 d=|y0-a|;④ 点 P(x0,y0)到与 y 轴平行的直线 x=b(b≠0)的距离 d=|x0-b|. 对于点到直线的距离,还可通过坐标法求解.由点到直线的距离概念,易想到过点P0(x0,y0)作直线 l 的垂线,写出这条垂线的方程;然后与直线 l 联立方程组,解这个方程组得交点 Q 的坐标;再利用两点间的距离公式求出 P0与交点 Q 的距离.
