1。 设 A 为面上一点，过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为： cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB （cos∠BAC 和 cos∠OAB 只能是锐角）通俗点说就是，斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值 射影与平面内直线夹角的余弦值． 三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）定理证明：如上图，自点 O 作 OB⊥AB 于点 B，过 B作 BC⊥AC 于 C，连 OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO 均为直角三角形． 辅助记忆：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。2.设二面角 M－AB－N 的度数为，在平面 M 上有一条射线 AC，它和棱 AB所成角为，和平面 N 所成的角为,则 sin=sin·sin(如图）三正弦定理定理证明：如上图，过 C 作 CO⊥平面 N 于点 O，过 O 作直线 OB⊥二面角的棱于点 B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC 均为直角三角形．于是，sin=,sin=,sin= sin=sin·sin假如将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例1如图，已知 A1B1C1－ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点，若AB1⊥BC1，求以 BC1 为棱，DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数.（1994 年全国高考理科数学 23 题） 例 2 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=2,BC=3．P 为斜边 AB 上一点，现沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A－CP－B(如下图），当 AB=√7 时，求二面角 P－AC－B 大小．(上海市1986 年高考试题，难度系数 0。28)例 3．已知菱形 ABCD 的边长为 1，∠BAD=60°，现沿对角线 BD 将此菱形折成直二面角 A—BD-C（如图 6)．( 1)求异面直线 AC 与 BD 所成的角;（ 2)求二面角 A—CD—B 的大小．
