高中数学 第二章 基本初等函数（1） 2.3 幂函数学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

2.3 幂_函_数幂函数的概念[提出问题]问题 1：函数 y＝2x，y＝x3是指数函数吗？提示：y＝2x是指数函数，而 y＝x3不是指数函数．问题 2：函数 y＝x3中自变量有什么特点？提示：自变量在底数的位置．问题 3：再举出几个这样的函数．提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.[导入新知]一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．[化解疑难]1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为 1，且只有一项．2．指数函数与幂函数的辨析指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的底数 a 为常数，指数为自变量；幂函数 y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数 α 为常数.幂函数的图象与性质[提出问题]问题 1：在同一坐标系中，试作出幂函数 y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．提示：如图所示：问题 2：在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1,1)；只有 y＝x－1随 x 增大而减小，但不与 x 轴相交，其他的都随 x 增大而增大．问题 3：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．[导入新知]常见幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1y＝x图象定义域RRR{ x | x ≠0} [0 ，＋∞ ) 值域R[0 ，＋∞ ) R{ y | y ≠0} [0 ，＋∞ ) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸．(3)α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．幂函数的概念[例 1] (1)下列函数：① y＝x3；② y＝x；③ y＝4x2；④ y＝x5＋1；⑤ y＝(x－1)2；⑥ y＝x；⑦ y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2...