§3 计算导数对于函数 y＝－x2＋2.问题 1：试求 f′(1)，f′.提示：f′(1)＝lim ＝lim (－2－Δx)＝－2.f′＝lim ＝lim (1－Δx)＝1.问题 2：求 f′(x0)的值．提示：f′(x0)＝lim ＝lim (－2x0－Δx)＝－2x0.问题 3：利用 f′(x0)可求 f′(1)和 f′吗？提示：可以．只要令 x0＝1，x0＝－.问题 4：若 x0是一变量 x，则 f′(x)还是常量吗？提示：因 f′(x)＝－2x，说明 f′(x)不是常量，其值随自变量 x 而改变．1．导函数若一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝lim ，则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f ′( x ) 为 f ( x ) 的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c (c 是常数)y′＝0y＝sin xy′＝cos_xy＝xα(α 为实数)y′＝αx α － 1 y＝cos xy′＝－ sin _xy＝ax (a>0，a≠1)y′＝a x ln _a 特别地(ex)′＝e x y＝tan xy′＝y＝loga x (a>0，a≠1)y′＝特别地(ln x)′＝y＝cot xy′＝－1．f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数 f′(x)的一个函数值．2．对公式 y＝xα的理解：(1)y＝xα中，x 为自变量，α 为常数；(2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对 α∈R 都成立．利用导函数定义求导数[例 1] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数和它的导函数．[思路点拨] 先用导函数的定义求 f′(x)，再将 x＝3 代入即可得 f′(3)．[精解详析] f′(x)＝lim ＝lim ＝lim (2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.[一点通] 利用定义求函数 y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数 y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当 Δx 趋于 0 时，得到导函数f′(x)＝lim .1．利用导数定义求 f(x)＝1 的导函数，并求 f′(2)，f′(3)．解：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，＝0.Δx 趋于 0 时，趋于 0.所以 f′(x)＝0.所以有 f′(2)＝0，f′(3)＝0.2．求函数 y＝的导函数．解：Δy＝－，＝＝，所以 y′＝lim ＝lim ＝.利用导数公式求导数[例 2] 求下列函数的导数．(1)y＝x13，(2)y＝，(3)y＝log3x，(4)y＝ .[思路点拨] (1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式...
