第二章 等式与不等式2．1 等式2．1.1 等式的性质与方程的解集[课程目标] 1.理解等式的性质；2.区分等式与恒等式；3.理解方程解集的概念，会求简单方程的解集．知识点一 等式的性质 [填一填](1)如果 a＝b，则对任意 c，都有 a ＋ c ＝ b ＋ c .(2)如果 a＝b，则对任意不为零的 c，都有 ac ＝ bc .知识点二 恒等式 [填一填]1．恒等式的概念一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．2．十字相乘法给定式子 x2＋Cx＋D，如果能找到 a 和 b，使得 D＝ab 且 C＝a＋b，则 x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．[答一答]1．若 a＋c＝b＋c，则一定有 a＝b 吗？提示：有，只需等式两边加上－c 即可．2．若 ac＝bc，则一定有 a＝b 吗？提示：不一定，若 c≠0，则两边同乘以，一定有 a＝b；若 c＝0，则 a，b 可以为任意实数，不一定有 a＝b.知识点三 方程的解集 [填一填]一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．[答一答]3．方程 2x－1＝0 的解集为 x＝对吗？提示：不对．方程的解集要写成集合的形式应为{x|x＝}或者{}．类型一 恒等式 [例 1] 求证：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3(立方和公式)；(2)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)．[证明] (1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，∴等式成立．(2) (a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴等式成立．常用公式：(1)平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(2)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(3)立方和公式 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；(4)立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(5)三数和平方公式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)；(6)两数和立方公式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(7)两数差立方公式(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.[变式训练 1] 已知 a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求 a2＋b2＋c2的值．解： (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)． a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，∴a2＋b2＋c2＝8.类型二 十字相乘法分解因式 [例 2] 把下列各式因式分解：(1)x2－2x－3; (2)y2－7y＋12；(3)12x2－5x－2; (4)11x－x2－18.[解] (1)x2－...
