2.1 指数函数课堂探究探究一 比较两个幂的大小对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0 或 1 等)分别与之比较，借助中间值比较．【典型例题 1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)1.5－7，；(3)2.3－0.28,0.67－3.1.思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值 1 比较大小．解：(1)(单调性法)由于 1.72.5与 1.73的底数是 1.7，故构造函数 y＝1.7x，而函数 y＝1.7x在 R 上是增函数．又 2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，考察函数 y＝. 0<<1，∴y＝在 R 上是减函数．又 7<12，∴>，即 1.5－7>.(3)(中间量法)由指数函数的性质，知 2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则 2.3－0.28＜0.67－3.1.探究二 解指数不等式解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如 ax>ay的不等式，借助 y＝ax的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与0
b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 y＝ax的单调性求解；(3)形如 ax>bx的形式利用图象求解．【典型例题 2】 解下列关于 x 的不等式：(1) ≤16；(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且 a≠1)．思路分析：(1)将 16 写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论 a 的取值范围，利用指数函数的单调性求解．解：(1) ≤16，∴≤. 0<<1，∴x＋5≥－4，即 x≥－9.故原不等式的解集为{x|x≥－9}．(2)当 01 时， a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得 x≤－6.综上所述，当 01 时，不等式的解集为{x|x≤－6}．探究三指数型函数的单调性对于形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的函数，有以下结论：(1)函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的定义域与 f(x)定义域相同；(2)若求值域，则先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定 y＝af(x)的值域；(3)当 a>1 时，函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)的单调性相同；当 0
