2．4．2 空间两点的距离公式 1．了解空间两点的距离的定义． 2．理解空间两点的距离公式的推导思路． 3．掌握空间两点的距离公式．空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是 d(A，B)＝．特别地，点 A(x，y，z)到原点的距离公式为 d(O，A)＝．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√ (2)√2．点 P(1，，)到原点 O 的距离是( )A． B．C．2 D．答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝ ＝1．(2)d(C，D)＝ ＝． 求两点间的距离 在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点 C′的坐标为(4，4，2)，E，F 分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】 由 C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝ ＝2．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤 在空间直角坐标系中，点 A(2，3，0)关于平面 xOy 的对称点为 A′，点B(5，1，0)关于平面 yOz 的对称点为 B′，求 A′、B′两点间的距离．解：因为点 A(2，3，0)关于平面 xOy 的对称点为 A′，所以 A′(2，3，0)．因为点 B(5，1，0)关于平面 yOz 的对称点为 B′，所以 B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝＝＝，所以 A′、B′两点间的距离为． 利用距离公式求点的坐标 (1)在 z 轴上求一点使得它到点 A(4，5，6)与到点 B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点 P 到坐标原点 O 的距离等于 2，且它的 x 坐标、y 坐标、z 坐标均相等，求该点的坐标．【解】 (1)由题意可设该点的坐标为 P(0，0，z)，则|PA|＝，|PB|＝ ．又|PA|＝|PB|，所以 z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)．(2)由题意可设 P 点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝ ＝2．又 x＝y＝z，所以＝2．所以 x＝y＝z＝2 或 x＝y＝z＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表： 位置坐标特征x 轴上(x，0，0)y 轴上(0，y，0)z ...
