2.2 对数函数互动课堂疏导引导2.2.1 对数与对数运算1.对数的定义一般地,如果 ax=N(a>0,a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=loga N,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log 10N 记为 lg N,以 e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把 logeN 记为 lnN.疑难疏引(1)因为 a>0,所以不论 b 是什么数,都有 a b>0,即不论 b 是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式 b=loga N 中真数 N 永远是正数,换句话说负数和零没有对数.(2)指数与对数的关系:ax=N(a>0,a≠1)x=loga N.(3)负数和零没有对数.2.对数的运算(1)换底公式:①logab=,即有 logca·logab=logcb;②logba=,即有 logab·logba=1;③logambn=logab;(2)对数恒等式:alogaN=N.疑难疏引换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.3.对数式与指数式的关系【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.●案例 1 下列四个命题中,真命题是( )A. lg2lg3=lg5B. lg23=lg9C.若 logaM+ N=b,则 M+N=a bD.若 log2M+ log3N=log2N+log3M,则 M=N【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选 D.【 溯 源 】 初 学 对 数 运 算 性 质 , 容 易 犯 下 面 错 误 :loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M×N)=logaM×logaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.●案例 2 求值:(1);(2)lg5·lg20+lg22;(3)已知 log23=a,3 b=7,求 log1256 的值.【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将 3 b=7 转化为 log37=b,然后设法将 log1256 化成关于 log23 和 log37 的表达式即可求值.(1) = =.(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.(3)解法一: log23=a,∴2 a=3.又 3 b=7,∴7=(2 a) b=2 ab.故 56=2 3+ab.又 12=3·4=2 a·4=2 a+2,从而 56=(2 a+2) =12.故 log1256=log1212=.解法二: log23=a,∴log32=.又 3 b=7,∴log 37=b.从而 log1256=====.解法三: log23==a,∴lg3=a...
