2.2 对数函数知识导学 一般地,对于一个数 a(a>0 且 a≠1),如果 a 的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么就称 b 是以 a为底的 N 的对数,记作 logaN=b,其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即 logaN=bab=N. 对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算. 一般地,我们称 logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程. 有了对数的概念后,要求 log0.840.5 的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以 10 为底的对数;自然对数是指以 e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数. 有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求 log0.840.5 的值了. 对数恒等式:=N 的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明. ab=N,∴b=logaN. ∴ab==N, 即=N. 如=5, =6 等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式. 作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图. 比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量 0、1 等进行比较. 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线 y=x 对称. 因此,我们只要画出和 y=ax的图象关于直线 y=x 对称的曲线,就可以得到 y=logax 的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.疑难导析 通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当 a>1 或 0
