高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数知识导学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

2.3 幂函数知识导学 我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同. 研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数 y=x2、y=x3及 y=的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x-2、y=x-3 及 y=的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有: (1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论. (2)对于幂函数 y=xn(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 n<0,01 三种情况下曲线的基本形状,还要注意 n=0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即 n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0 时图象是双曲线型;n>1 时图象是竖直抛物线型;01,且 p、q 互质)时,① 若 q 为偶数,则定义域为［0,+∞);② 若 q 为奇数,则定义域为 R;当 n=- (p、q∈N*,q>1,且 p、q 互质)时,① 若 q 为偶数,则定义域为(0,+∞);② 若 q 为奇数,则定义域为{x|x≠0}.问题导思 分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识. (1)给定正实数 a,等于任意给定的正整数 n,存在唯一的正实数 b,使得 bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数 b,记作 b=;(2)给定正实数 a,对于任意给定的...