第二章 函数复习巩固知识网络知识回顾1.函数由定义域、对应关系和值域三要素构成,其表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种,解题时可根据需要而定.2.单调性、最大(小)值和奇偶性为函数的应用最广泛的三大性质,不仅是我们解决实际问题的基础,也是数学本身的自然要求.3.一次函数和二次函数数学模型是解决现实生活中问题的有力工具.4.二分法是求方程近似解的一种常用方法.典例精讲【例 1】如图,用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域.思路分析：对“不规则”图形的求积问题,常采用“割补法”化为“规则”图形的求积问题,本题可将框架分割成两部分:一个半圆、一个矩形.解: AB=2x,∴=πx,AD=.∴y=+2x·=+Lx.由得 00 时,-x<0,f(-x)=-x［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x);当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x);当 x=0 时,f(-0)=f(0)=0,即 f(-x)=-f(x);综上,对任意 x∈(-∞,+∞)均有 f(-x)=-f(x),∴函数 f(x)为奇函数.温馨提示 (1)有些函数在判断奇偶性时,需先化简 f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断. (2)判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)的特征,才能说明该函数的奇偶性.方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且应该进行双向验证,若函数在 x=0 有定义,还要对 f(0)加以验证.总之,判断或证明分段函数的步骤对思维的有序性与叙述的条理性都提出了较高的要求.【例 3】函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是 R 上的增函数;(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.思路分析：(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数 3 看成某个变量的函数值.(1)证明:设 x1、x2∈R,且 x10,∴f(x2-x1)>1.f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1...
