第二章 函数知识建构综合应用专题 1 复合函数 y=f［g(x)］定义:如果 y=f(u)的定义域为 D，函数 u=g(x)的值域为 M，D∩M 非空，则称 y=f［g(x)］为复合函数，x 为自变量，y 为因变量，u 为中间变量.如:已知 y=f(u)=,u=g(x)=,则 y=f［g(x)］=a2-x2称为复合函数.利用复合函数的概念，一个较复杂的函数可以看成几个简单函数复合而成，这样更便于对函数进行研究使用.【例题 1】(1)已知函数 f（x）的定义域为(0，1)，求 f（x2）的定义域;(2)已知函数 f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求 f（x）的定义域;(3)已知函数 f（x＋1）的定义域为［-2，3］，求 f（2x-2）的定义域.分析:(1)求函数定义域就是求自变量 x 的取值范围，求 f（x2）的定义域就是求 x 的范围，而不是求 x2的范围，这里 x 与 x2的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由 0＜x＜1 确定出 2x＋1 的范围，即为函数 f（x）的定义域.(3)应由-2≤x≤3 确定出 x＋1 的范围，求出函数 f（x）的定义域进而再求 f（2x-2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1) f（x）的定义域为(0，1),∴要使 f（x2）有意义，需使 0＜x2＜1，即-1＜x＜0 或 0＜x＜1.∴函数 f（x2）的定义域为{x｜-1＜x＜0 或 0＜x＜1}.(2) f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0＜x＜1，令 t＝2x＋1，∴1＜t＜3.∴f（t）的定义域为 1＜t＜3.∴函数 f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}(3)f（x＋1）的定义域为-2≤x≤3.令 t＝x＋1，∴-1≤t≤4.∴f（t）的定义域为-1≤t≤4,即 f(x)的定义域为-1≤x≤4.要使 f（2x-2）有意义，需使-1≤2x-2≤4，∴≤x≤3.∴函数 f（2x-2）的定义域为{x｜≤x≤3}.绿色通道（1）对于复合函数 f［g（x）］而言，如果函数 f（x）的定义域为 A，则 f［g（x）］的定义域是使得函数 g（x）∈A 的 x 取值范围.（2）如果 f［g（x）］的定义域为 A，则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)的值域.【例题 2】已知 f(x2+)=x+(x<0)，求函数 f(x2+x)的单调减区间.分析:求复合函数的单调区间时，必须注意两点：一是函数的定义域,二是每个函数在划分出的各区间内必是单调函数.本题先应求 f(x)的表达式及其定义域，进而研究 f(x2+x)的单调性.解： 当 x<0 时，x+=-|x+|==f(x2+)，∴f(x)=.又 x2+≥2,∴f(x) 的 定 义 域 为 {x|x≥2}. 则 f(x2+x)=， x2+x≥2 ， 即 y=f(x2+x)=（x≤-2 或 x≥1）.又 该函数可...
