高中数学 第二章 数列 2.1 第2课时 数列的性质与递推公式学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案

第 2 课时 数列的性质与递推公式[目标] 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前几项，并能归纳出数列的通项公式；2.体会递推公式是表示数列的一种方法；3.体会数列单调性的判断及简单应用．[重点] 利用递推公式求通项．[难点] 递推公式含义的理解．知识点一 数列的递推公式 [填一填]一个数列若满足以下两个条件：① 已知数列{an}的第一项 a 1(或前几项)．② 从第二项(或某一项)开始的任意项 an 与它的前一项 a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示．则此公式就叫做这个数列的递推公式．[答一答]1．递推公式也是表示数列的一种方法吗？提示：递推公式也是表示数列的一种重要方法．2．所有的数列都有递推公式吗？提示：并不是所有的数列都有递推公式：例如精确到 1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…就没有递推公式．知识点二 数列的单调性 [填一填]判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定．(1)若 an＋1－an>0 恒成立，则数列{an}是递增数列；(2)若 an＋1－an<0 恒成立，则数列{an}是递减数列；(3)若 an＋1－an＝0 恒成立，则数列{an}是常数列．[答一答]3．数列{an}满足 an＝，若 ap最大，aq最小，则 p＋q＝89.解析：an＝＝1＋.由于 44<<45，则当 n≤44 时，an＝1－<1 且递减；当 n≥45 时，an＝1＋>1 且递减．所以 a44最小，a45最大，即 p＝45，q＝44，故 p＋q＝45＋44＝89. 类型一 根据数列的递推公式写出数列的项[例 1] 已知数列{an}的第 1 项是 2，以后的各项由公式 an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前 5 项，并归纳出数列{an}的通项公式．[分析] 先写出前 5 项，再观察这 5 项，找出规律写出通项．[解] 可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，a4＝＝－，a5＝＝－.即数列{an}的前 5 项为 2，－2，－，－，－.也可写为，，，，－.即分子都是－2，分母依次加 2，且都是奇数，所以 an＝－(n∈N*)．数列的递推公式是数列规律的另一种表示形式.知道首项，就可求后面的各项；知道后面的项，也可求出前面的项.[变式训练 1] (1)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则 a6＝8.解析：因为 an＋2＝an＋an＋1，所以 a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5...