2 数列的递推公式(选学)学习目标 1
理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列
理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项
了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式
知识点一 递推公式如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二 项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项a n － 1 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式
(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n 的恒等式
(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项
知识点二 递推公式与通项公式的比较通项公式和递推公式都是给出数列的方法
已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项
思考 (1)已知求 a4；(2)已知 an＝2n，求 a4
答案 (1)a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；(2)a4＝2×4＝8
数列{an}中，若 an＋1＝2an，n∈N＋，则 a2＝2a1
( √ )2
利用 an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}
( × )3
an＝n 与 y＝x 的图象是相同的
( × )4
有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示
( √ )题型一 由数列前若干项归纳递推公式例 1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的 3 倍，第(3)个是第(2)个的 3 倍，故有递推公式个数依次为 1,3
