2.1.4 向量数乘课堂探究探究一 数乘向量的理解【例 1】 已知 λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有( )① 当 λ<0，a≠0 时，λa 与 a 的方向一定相反；② 当 λ>0，a≠0 时，λa 与 a 的方向一定相同；③ 当 λ≠0，a≠0 时，λa 与 a 是共线向量；④ 当 λμ>0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相同；⑤ 当 λμ<0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相反．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个解析：根据实数 λ 与向量 a 的积 λa 的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ>0 可得 λ，μ 同为正或同为负，所以 λa 和 μa 或者都与 a 同向，或者都与 a 反向，所以 λa 与 μa 是同向的，故④正确；对于⑤，由 λμ<0 可得 λ，μ 异号，所以在 λa 和μa 中，一个与 a 同向，另一个与 a 反向，所以 λa 与 μa 是反向的，故⑤正确．答案：D探究二 向量的线性运算向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．【例 2】 计算下列各题：(1)化简；(2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；(3)解方程 5(x＋a)＋3(x－b)＝0(x 是未知向量)．解：(1)原式＝＝＝＝a－b．(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝＋＝－＋＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝i＋j＝－i－5j．(3)由 5(x＋a)＋3(x－b)＝0，得 8x＋5a－3b＝0．所以 8x＝3b－5a．所以 x＝b－a．探究三 向量之间的线性表示在求向量时要尽可能把未知向量转化到平行四边形或三角形中，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．【例 3】 如图，设 O 为△ABC 内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，求，，．解：由平面几何知△APQ∽△ABC，所以＝＝t，所以＝t，＝t，＝＋＝＋t＝＋t(－)＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)a＋tc，所以＝－＝(1－t)a＋tc－(1－t)a－tb＝t(c－b)．点评 点 O 位置的变化不影响本题的结果，将向量，分别转化为 t(－)，t(－)是本题的关键．
