第二章 函数1 函数解析式求解的常用方法一、换元法例 1 已知 f(＋1)＝x＋2，求 f(x)．分析 采用整体思想，可把 f(＋1)中的“＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．解 令 t＝＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．评注 将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出 x 与 t 的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．二、待定系数法例 2 已知 f(x)为二次函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求 f(x)的表达式．解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.故有解得所以 f(x)＝x2－2x－1.评注 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．三、方程消元法例 3 已知：2f(x)＋f()＝3x，x≠0，求 f(x)．解 2f(x)＋f()＝3x，①用去代换①式中的 x 得 2f()＋f(x)＝.②由①×2－②得 f(x)＝2x－，x≠0.评注 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.2 解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．一、分段函数解读在定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已．二、常见的题型及其求解策略1．求分段函数的定义域、值域例 1 求函数 f(x)＝的值域．解 当 x≤－2 时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；当 x＞－2 时，y＝，∴y＞＝－1.∴函数 f(x)的值域是{y|y≥－4}．解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．2．求分段函数的函数值例 2 已知 f(x)＝求 f(5)的值．解 5＜10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))， 11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，又 9＜10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.即 f(5)＝11.解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多...
