2.1.4 向量数乘课堂导学三点剖析 一、向量数乘的概念及几何意义 1.对向量数乘定义的理解注意:①λa 中的实数,叫做向量 a 的系数.② 关于对向量数乘 λa 的理解:我们可以把向量 a 的长度扩大(当|λ|>1)时,也可以缩小(当|λ|<1 时),同时可以不改变向量 a 的方向(当 λ>0 时),也可以改变向量 a 的方向(当 λ<0时).③ 向量数乘的特殊情况:当 λ=0 时,λa=0,而 λ≠0,若 a=0,也有 λa=0.④ 实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如 λ+a,λ-a 就无法运算.2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.【例 1】 已知 a,b 是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)2a 的方向与 a 的方向相同,且 2a 的模是 a 的模的 2 倍;(2)-2a 的方向与 5a 的方向相反,且-2a 的模是 5a 的模的;(3)-2a 与 2a 是一对相反向量;(4)a-b 与-(b-a)是一对相反向量;(5)若 a,b 不共线,则 0a 与 b 不共线.思路分析:利用 λa 中 λ 的作用.解：(1)真命题. 2>0,∴2a 与 a 同向,且|2a|=2|a|.(2)真命题. 5>0,∴5a 与 a 同向,且|5a|=5|a|.-2<0,∴-2a 与 a 反向,且|-2a|=2|a|.∴-2a 与 5a 反向,且|-2a|=|5a|.(3)真命题.(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)假命题. 0a=0,0 与任一向量共线.温馨提示 对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0 时,λa 与 a 同向,模是|a|的 λ倍;λ<0 时,λa 与 a 反向,模是|a|的-λ 倍;λ=0 时,λa=0.各个击破类题演练 1如图(1),已知非零向量 a,求作向量 2a,a,-3a,a.思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.作法:将向量 a 依次同向伸长到原来的 2 倍,同向缩短到原来的倍,反向伸长到原来的 3 倍,反向缩短到原来的倍,得到图(2).变式提升 1已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且.(1)用表示;(2)用表示.思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.解:如图①,由已知,点 C 在线段 AB 的延长线上,且,∴,解得 AB=3BC.同理,可得 AC=4CB.(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3.(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-4.温馨提示 确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小. 二、向量数乘的运算律及应用设 λ,μ 为实数,则(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)...
