高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.3.2 向量数量积的运算律 [学习目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[知识链接]1．向量数乘的运算律有哪些？答 (1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. [预习导引]1．向量的数量积(内积)|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0 且 a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝；(5)|a·b|≤|a||b|.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).要点一 向量数量积运算律的有关概念例 1 给出下列结论：① 若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．答案 ④解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，a·b＝0，故①不正确；当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确；向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．规律方法 向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由 a·b＝0 并不能得出 a＝0 或 b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．跟踪演练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．答案 ①③④解析 根据向量数量积的分配律知①正确； [(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b 与 c 垂直，②错误； a，b 不共线，∴|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④ 正确．故...