2.1.4 数乘向量 [学习目标] 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．[知识链接]1．已知非零向量 a，作出 a＋a＋a 和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量 a 之间的关系吗？答OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；a＋a＋a 的长度是 a 的长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相同；O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是 a 长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相反．2．已知非零向量 a，你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何意义吗？答 λa 仍然是一个向量．当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意．|λa|＝|λ|·|a|.[预习导引]1．数乘向量(1)定义：一般地，实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa.(2)规定：|λa|＝|λ||a|.若 a≠0，当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0. (3)几何意义：λa 中的实数 λ，叫做向量 a 的系数．λa 可以看作是把向量 a 沿着 a 的方向(λ>0 时)或 a 的反方向(λ<0 时)扩大或缩小| λ | 倍得到．2．数乘向量的运算律数乘向量运算满足下列运算律：设 λ，μ 为实数，则(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.要点一 数乘向量的运算例 1 化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．跟踪演练 1 若向量 a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.答案 －16i＋j解析 －3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.要点二 数乘向量的...
