第 2 课时 等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一 等差数列的重要性质 [填一填]1．an＝am＋( n － m ) d (m，n∈N*)．2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋ a n＝ap＋aq.[答一答]1．在等差数列{an}中，若 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则 m＋n＝p＋q 成立吗？提示：不一定．若数列{an}是常数列，则 m＋n＝p＋q 不一定成立．2．在公差为 d 的等差数列{an}中，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 2ap与 am，an有何关系？提示：2ap＝am＋an.3．在等差数列{an}中，若 m＋n＝p，则 am＋an＝ap成立吗？提示：不成立．知识点二 等差数列的其他性质 [填一填]1．若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列：(1){c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列；(2){can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列；(3){an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2 d 的等差数列．2．若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1＋ qd 2 的等差数列．[答一答]4．在等差数列中，如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.当 d>0 时，{an}是递增数列；当 d＝0 时，{an}是常数列；当 d<0 时，{an}是递减数列．5．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．(1)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．( √ )(2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{an}中，若 m＋n＋p＝3t，则 am＋an＋ap＝3at.( √ )类型一 等差数列的性质应用[例 1] (1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求 a25的值；(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求 a1＋a9的值；(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求 a19－b19的值．[分析] 分析题目，可利用等差数列的性质，也可利用通项公式求解．[解] (1)方法一：设{an}的公差为 d，则解得故 a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40.方法二：因为 5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有 a5＋a25＝2a15，从而 a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40.方法三：因为 5,15,25 成等差数列，所以 a5，a15，a25也成等差数列，因此 a25－a15＝a15－a5，即 a25－25＝25－10，解得 a25＝40.(2)...
