4.1.2 圆的一般方程目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自 主 预 习1.圆的一般方程的定义(1)当 D 2 ＋ E 2 － 4 F >0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点.(3)当 D 2 ＋ E 2 － 4 F <0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不表示任何图形.2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点 M 在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点 M 在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点 M 在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0即 时 自 测1.判断题(1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的是一个圆.(×)(2)点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，满足 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)(4)二元二次方程 Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是 A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.(√)提示 (1)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示点，当 D2＋E2－4F＜0 时，不表示任何几何图形，当 D2＋E2－4F＞0 时，表示以点为圆心，半径为的圆.2.圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )A.(2，3) B.(－2，3)C.(－2，－3) D.(2，－3)解析 －＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).答案 D3.方程 x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0 表示的图形为( )A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)解析 原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b).答案 D4.圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________.解析 因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.答案 类型一 圆的一般方程的概念【例 1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解 (1) 方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2与 y2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2) 方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为＋y2＝...
