高中数学 第二章§3.1数学归纳法导学案 北师大版选修4-5

§3 数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法1．了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理和实质．2．掌握用数学归纳法解证明题的两个步骤，并能灵活应用．对数学归纳法的理解(1)数学归纳法原理：数学归纳法原理是设有一个关于________的命题，若当 n 取__________时该命题成立，又在假设当 n 取__________时该命题成立后可以推出 n 取__________时该命题成立，则该命题对一切自然数________都成立．(2)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：① 验证当 n 取______________(如 n0＝1 或 2 等)时命题正确．② 假设当__________时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于______________都正确．【做一做 1】在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应检验( )．A．n＝1 时成立 B．n＝2 时成立C．n＝3 时成立 D．n＝4 时成立【做一做 2】已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－＋－＋…＋－＝2＋…＋时，若已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立【做一做 3】用数学归纳法证明 1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且 n＞1)时，在证明从 n＝k 到n＝k＋1 成立时，左边增加的项数是( )．A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1答案：(1)正整数 n 第 1 个值 n0 第 k 个值 第 k＋1 个值 n≥n0(2)第一个值 n0 n＝k n＝k＋1 从 n0开始的所有正整数【做一做 1】C 多边形中至少有三条边，故应先验证 n＝3 时成立．【做一做 2】B 因为已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，接下来应该证明 n＝2，即 n＝k＋2 时命题为真．而选项中 n＝k＋1 为奇数，n＝2k＋2 和 n＝2(k＋2)均不满足递推关系，所以只有 n＝k＋2 满足条件．【做一做 3】A1．用数学归纳法证明时注意事项剖析：(1)n 的取值范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定 n＝k时命题的形式 f(k)；(3)从 f(k＋1)和 f(k)的差异，寻找由 k 到 k＋1 的递推中，左边要加(乘)上的式子．2．数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题剖析：这是因为第一步首先验证了 n 取第一个值 n0时成立，这样假设就有了存在的基础．假设 k＝n0成立，根据假设和合理推证，证明出 ...