第七节抛物线A组基础题组1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A.(0,a)B.(a,0)C.D.2.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.23.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.164.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-25.在平面直角坐标系中,已知点A,B在抛物线y2=4x上,且满足·=-4,点F是抛物线的焦点,设△OFA,△OFB的面积分别为S1,S2,则S1·S2等于()A.2B.C.3D.46.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.7.(2017北京西城二模,18)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,对称轴为x轴,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的方程;(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|,求直线AB的斜率.B组提升题组8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.29.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,如果|BF|=3,|BF|>|AF|,∠BFO=,那么|AF|的值为()A.1B.C.3D.610.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则·+·的最大值等于()A.-4B.-16C.4D.-811.若双曲线-=1(a>0,b>0)截抛物线y2=4x的准线所得线段的长为b,则a=.12.(2017北京东城二模,13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=.13.(2017北京顺义二模,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2,则p的值为.14.已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,O为坐标原点,直线AB(不垂直于x轴)过点F,且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为-p.(1)求抛物线C的方程;(2)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:>2.答案精解精析A组基础题组1.C将y=4ax2(a≠0)化为标准方程是x2=y(a≠0),所以焦点坐标为,所以选C.2.D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.3.C因为抛物线y2=8x,所以p=4,故F(2,0),准线l:x=-2,设P(x0,y0),则A(-2,y0),kAF=-,因为直线AF的斜率为-,所以-=-,故y0=4,则x0==6,故P(6,4),所以|PF|==8.4.C由题可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y,得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p. 线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.5.A由题意得抛物线的焦点坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则S1·S2=|y1y2|,由·=-4得x1x2+y1y2=-4.又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=4x上,所以(y1y2)2+y1y2=-4,解得y1y2=-8,所以S1·S2=|y1y2|=2,故选A.6.解析(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.|AB|=|y1-y2|=·=·=4(m2+1).所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.7.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0).由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.易知直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0).将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0,设A(x1,y1),则1×x1==,所以y1=k(x1-1)+2=-2,所以A.用-k替换点A坐标中的k,得B.所以kAB==-1.所以直线AB的斜率为-1.B组提升题组8.B =4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=.∴|Q...
